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充分条件与必要条件

教学目标

　　（1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；
　　（2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件；
　　（3）培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力；
　　（4）在充要条件的教学中，培养等价转化思想．

教学建议

（一）教材分析

1．知识结构

　　首先给出推断符号“ ”，并引出充分条件与必要条件的意义，在此基础上讲述了充要条件的初步知识．

2．重点难点分析

　　本节的重点与难点是关于充要条件的判断．

　　（1）充分但不必要条件、必要但不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件 和结论 之间的因果关系．

　　（2）在判断条件 和结论 之间的因果关系中应该：

　　①首先分清条件是什么，结论是什么；

　　②然后尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件．推理方法可以是直接证法、间接证法（即反证法），也可以举反例说明其不成立；

　　③最后再指出条件是结论的什么条件．

　　（3）在讨论条件 和条件 的关系时，要注意：

　　①若 ，但 ，则 是 的充分但不必要条件；

　　②若 ，但 ，则 是 的必要但不充分条件；

　　③若 ，且 ，则 是 的充要条件；

　　④若 ，且 ，则 是 的充要条件；

　　⑤若 ，且 ，则 是 的既不充分也不必要条件．

　　（4）若条件 以集合 的形式出现，结论 以集合 的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断．

　　①若 ，则 是 的充分条件；

　　显然，要使元素 ，只需 就够了．类似地还有：

　　②若 ，则 是 的必要条件；

　　③若 ，则 是 的充要条件；

　　④若 ，且 ，则 是 的既不必要也不充分条件．

　　（5）要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立．证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性．由于原命题 逆否命题，逆命题 否命题，当我们证明某一命题有困难时，可以证明该命题的逆否命题成立，从而得出原命题成立．

（二）教法建议

　　1．学习充分条件、必要条件和充要条件知识，要注意与前面有关逻辑初步知识内容相联系．充要条件中的 ， 与四种命题中的 ， 要求是一样的．它们可以是简单命题，也可以是不能判断真假的语句，也可以是含有逻辑联结词或“若 则 ”形式的复合命题．

　　2．由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是关键．教学中始终要注意以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中去结概念“下定义”，去体会概念的本质属性．

　　3．由于“充要条件”与命题的真假、命题的条件与结论的相互关系紧密相关，为此，教学时可以从判断命题的真假入手，来分析命题的条件对于结论来说，是否充分，从而引入“充分条件”的概念，进而引入“必要条件”的概念．

　　4．教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没有作过多的解释说明，为了让学生能理解定义的合理性，在教学过程中，教师可以从一些熟悉的命题的条件与结论之间的关系来认识“充分条件”的概念，从互为逆否命题的等价性来引出“必要条件”的概念．

 

教学设计示例

充要条件

教学目标：

　　（1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；

　　（2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件；

　　（3）培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力；

　　（4）在充要条件的教学中，培养等价转化思想．

教学重点难点：关于充要条件的判断

教学用具：幻灯机或实物投影仪

教学过程设计

1．复习引入

　　练习：判断下列命题是真命题还是假命题（用幻灯投影）：

　　（1）若 ，则 ；

　　（2）若 ，则 ；

　　（3）全等三角形的面积相等；

　　（4）对角线互相垂直的四边形是菱形；

　　（5）若 ，则 ；

　　（6）若方程 有两个不等的实数解，则 ．

（学生口答，教师板书．）

　　（1）、（3）、（6）是真命题，（2）、（4）、（5）是假命题．

　　置疑：对于命题“若 ，则 ”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？

　　答：看 能不能推出 ，如果 能推出 ，则原命题是真命题，否则就是假命题．

　　对于命题“若 ，则 ”，如果由 经过推理能推出 ，也就是说，如果 成立，那么 一定成立．换句话说，只要有条件 就能充分地保证结论 的成立，这时我们称条件 是 成立的充分条件，记作 ．

　　2．讲授新课

　　（板书充分条件的定义．）

　　一般地，如果已知 ，那么我们就说 是 成立的充分条件．

　　提问：请用充分条件来叙述上述（1）、（3）、（6）的条件与结论之间的关系．

（学生口答）

　　（1）“ ，”是“ ”成立的充分条件；

　　（2）“三角形全等”是“三角形面积相等”成立的充分条件；

　　（3）“方程 的有两个不等的实数解”是“ ”成立的充分条件．

　　从另一个角度看，如果 成立，那么其逆否命题 也成立，即如果没有 ，也就没有 ，亦即 是 成立的必须要有的条件，也就是必要条件．

（板书必要条件的定义．）

　　提出问题：用“充分条件”和“必要条件”来叙述上述6个命题．

（学生口答）．

　　（1）因为 ，所以 是 的充分条件， 是 的必要条件；

　　（2）因为 ，所以 是 的必要条件， 是 的充分条件；

　　（3）因为“两三角形全等” “两三角形面积相等”，所以“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件；

　　（4）因为“四边形的对角线互相垂直” “四边形是菱形”，所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要条件，“四边形是菱形”是“四边形的对角线互相垂直”的充分条件；

　　（5）因为 ，所以 是 的必要条件， 是 的充分条件；

　　（6）因为“方程 的有两个不等的实根” “ ”，而且“方程 的有两个不等的实根” “ ”，所以“方程 的有两个不等的实根”是“ ”充分条件，而且是必要条件．

　　总结：如果 是 的充分条件， 又是 的必要条件，则称 是 的充分必要条件，简称充要条件，记作 ．

（板书充要条件的定义．）

3．巩固新课

　　例1  （用投影仪投影．）

	B	A是B的什么条件	B是 的什么条件
是有理数	是实数
、 是奇数	是偶数
是4的倍数	是6的倍数

（学生活动，教师引导学生作出下面回答．）

　　①因为有理数一定是实数，但实数不一定是有理数，所以 是 的充分非必要条件， 是 的必要非充分条件；

　　② 一定能推出 ，而 不一定推出 ，所以 是 的充分非必要条件， 是 的必要非充分条件；

　　③ 、 是奇数，那么 一定是偶数； 是偶数， 、 不一定都是奇数（可能都为偶数），所以 是 的充分非必要条件， 是 的必要非充分条件；

　　④ 表示 或 ，所以 是 成立的必要非充分条件；

　　⑤由交集的定义可知 且 是 成立的充要条件；

　　⑥由 知 且 ，所以 是 成立的充分非必要条件；

　　⑦由 知 或 ，所以 是 ， 成立的必要非充分条件；

　　⑧易知“ 是4的倍数”是“ 是6的倍数”成立的既非充分又非必要条件；

　　（通过对上述问题的交流、思辩，在争论中得到了正确答案，并加深了对充分条件、必要条件的认识．）

　　例2  已知 是 的充要条件， 是 的必要条件同时又是 的充分条件，试 与 的关系．（投影）

　　解：由已知得

，

　　所以 是 的充分条件，或 是 的必要条件．

　　4．小结回授

　　今天我们学习了充分条件、必要条件和充要条件的概念，并学会了判断条件A是B的什么条件，这为我们今后解决数学问题打下了等价转化的基础．

　　课内练习：课本（人教版，试验修订本，第一册（上））第 35页练习l、2；第36页练习l、2．

　　（通过练习，检查学生掌握情况，有针对性的进行讲评．）

　　5．课外作业：教材第36页      习题1.8    1、2、3．

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